北理工關于李群SU(p,q)的Hasish-Chandra模的Gelfand-Kirillov維數(shù)取得研究成果
發(fā)布日期：2020-01-10 供稿：數(shù)學與統(tǒng)計學院
編輯：陶思遠 審核：高偉濤 閱讀次數(shù)：
日前，北理工數(shù)學與統(tǒng)計學院謝迅副研究員在國際數(shù)學頂級學術期刊《International Mathematics Research Notices》上發(fā)表題為“Gelfand–Kirillov Dimensions of Highest Weight Harish-Chandra Modules for SU(p,q)”的研究論文。該論文給出了SU(p,q)的具有最高權的單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)的一個算法。這個算法可以用來研究這些單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)以及伴隨簇的一些性質。
Gelfand-Kirillov維數(shù)是由Gelfand-Kirillov在1966年提出的一個數(shù)學概念?，F(xiàn)在這個概念已成為李群李代數(shù)的表示論度量無限維模大小的一個重要不變量。論文研究的對象是Hermitian型李群SU(p,q)的最高權Harish-Chandra模的Gelfand-Kirillov維數(shù)。論文給出了一個簡明的直接從最高權出發(fā)得到Gelfand-Kirillov維數(shù)的算法。應用的一個基本工具是Lusztig 在1984年的一篇文章中簡略提及的一個公式，Lusztig的這個公式給出了某些最高權模的Gelfand-Kirillov維數(shù)與對應Weyl群的元素的a-函數(shù)的一個非常漂亮的公式。論文將這個公式推廣到最一般的形式，用以連接半單李代數(shù)的任意最高權單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)和某些Weyl群元素的a-函數(shù)。
A型李代數(shù)的Weyl群是對稱群，其a-函數(shù)可以由著名的RSK算法給出。論文的第二個想法則是通過RSK算法直接作用在最高權上得到楊圖，進而給出a-函數(shù)與Gelfand-Kirillov維數(shù)。這樣可以省去通過最高權找相對應Weyl群的元素的步驟。
由于SU(p,q)的具有最高權的Harish-Chandra模的最高權都是(p,q)-支配的，因此，論文著重研究了A型的具有(p,q)-支配權的最高權模的Gelfand-Kirillov維數(shù)。其結論是這些權對應的楊圖最多兩列，因此他們對應的最高權模的Gelfand-Kirillov維數(shù)可以由他們對應楊圖的第二列的長度所完全確定，并給出了一個組合模型，解釋如何從(p,q)-支配最高權直接讀出楊圖第二列的長度，進而得出相應Gelfand-Kirillov維數(shù)的一些性質。最后，論文重新證明了一些關于SU(p,q)的酉表示的Gelfand-Kirillov維數(shù)的結論，并且確定了SU(p,q)的最高權單模的伴隨簇。
這項研究為Gelfand-Kirillov維數(shù)和伴隨簇的研究引入了新方法，即使用Hecke代數(shù)的a函數(shù)的方法。通過這個方法，可以引入一些組合的方法來研究與Gelfand-Kirillov維數(shù)和伴隨簇相關的問題。這為后續(xù)研究工作提供了重要的參考價值，這是這篇文章的一大亮點。這篇文章的方法可以考慮推廣到其他經(jīng)典型的李群的研究，這里面有許多有意思的問題值得進一步探討。特別是關于BCD型a函數(shù)的組合算法的研究，目前相關的工作正在研究之中。
該項研究工作是謝迅副研究員與蘇州大學白占強副教授合作完成，謝迅為通訊作者。本項工作得到北京理工大學學術啟動計劃的資助。
論文鏈接地址： https://doi.org/10.1093/imrn/rnx247
附研究團隊以及個人簡介：
北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院代數(shù)團隊積極開展國際合作研究和學術交流，團隊負責人胡峻教授以及團隊成員魏豐教授、萬金奎教授、張杰副教授、Michael Ehrig副教授，謝迅博士等與澳大利亞悉尼大學、巴西Universidade Federal do ABC大學、美國弗吉尼亞大學、加拿大Sherbrooke大學的研究人員都有合作。團隊成員分別開展表示論與李理論、代數(shù)組合、叢代數(shù)的交叉研究，表現(xiàn)出強勁的發(fā)展勢頭。
謝迅，副研究員，北理工數(shù)學與統(tǒng)計學院代數(shù)團隊成員之一。博士畢業(yè)于中國科學院大學，在北京大學做博士后研究，后到悉尼大學訪問一年。長期從事代數(shù)群、量子群、Hecke代數(shù)的研究。目前，主持國家自然科學基金青年項目，已在International Mathematics Research Notices，Journal of Algebra, Journal of Pure and Applied Algebra 上發(fā)表論文4篇。
分享到：